Pensar con cantidades

¿Qué significa «40» si no sabemos qué se contó o midió? Puede ser una cantidad, una proporción o solo una etiqueta. Para comparar números con sentido, primero hay que identificar qué representan, en qué unidades se expresan y a qué escala describen un cambio.

4.1. Qué representa un número#

El número 40 puede contar personas, medir una distancia, expresar un porcentaje o identificar una ruta de transporte. Escribirlo con dígitos no determina qué operaciones tienen sentido. La ruta 40 no contiene el doble de transporte que la ruta 20. Un código numérico puede ser una etiqueta, no una cantidad.

Una magnitud es una propiedad que puede expresarse cuantitativamente, como longitud, duración o masa. Un recuento establece cuántas unidades discretas hay. Una proporción relaciona una parte con un total. Una tasa compara una cantidad con una unidad de exposición, a menudo tiempo, población o distancia.

Distinguir estas funciones evita operaciones formalmente posibles pero conceptualmente absurdas. Sumar personas y personas produce un recuento. Sumar personas y horas no produce una magnitud interpretable sin una definición adicional. Dividir personas entre horas, en cambio, puede representar una tasa de llegada.

Los números negativos permiten representar diferencias orientadas, como un descenso respecto a una referencia. Las fracciones representan partes o cocientes. Los números reales permiten modelar cantidades continuas, aunque una medición nunca proporcione infinitos decimales. El tipo de número utilizado forma parte de la representación, no demuestra por sí solo cómo está constituido el fenómeno.

4.2. Unidades y dimensiones: una primera comprobación#

El Sistema Internacional de Unidades, SI, organiza la medición a partir de siete unidades básicas. Su edición de referencia consultada para este volumen es la novena, versión 4.01 de junio de 2026. Las definiciones modernas se apoyan en valores fijados de constantes; la realización práctica de una unidad sigue requiriendo procedimientos de medición. BIPM, 2026.

Fuente: BIPM, 2026. Las unidades derivadas se construyen mediante relaciones entre magnitudes; por ejemplo, la velocidad puede expresarse en metros por segundo.

Una dimensión física identifica la clase de magnitud. Metros y kilómetros son unidades distintas de longitud. Longitud y tiempo son dimensiones distintas. Convertir kilómetros a metros modifica el número, no la distancia.

El análisis dimensional comprueba que una relación combina unidades compatibles. Si una rapidez constante es $v=6\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y transcurren $t=10\mathrm{s}$, la distancia es:

Las unidades de tiempo se cancelan. Si una fórmula para esa distancia produjera metros cuadrados, habría un problema de interpretación o de cálculo. La compatibilidad dimensional es necesaria para una ecuación física adecuada, pero no suficiente: $d=7vt$ también tiene unidades de longitud y puede ser una relación equivocada.

La potencia representa energía por unidad de tiempo. Por definición, un vatio es un julio por segundo. Un aparato hipotético que mantenga una potencia de 100 W durante tres horas utiliza 300 Wh, es decir, 0,3 kWh o 1,08 millones de julios. El cálculo no dice si el aparato es eficiente; para eso hace falta definir qué resultado útil produjo.

La diferencia entre energía y potencia anticipa una distinción general: cantidad acumulada y velocidad de cambio. Confundirlas vuelve incomprensibles presupuestos, redes eléctricas y demografía.

4.3. El denominador cambia la historia#

Supóngase que en dos ciudades ficticias se realizan 200 y 100 préstamos bibliotecarios diarios. La primera tiene más préstamos absolutos. Si sus poblaciones son 100 000 y 20 000 habitantes, respectivamente, las tasas son 2 y 5 préstamos por cada mil habitantes y día. La segunda tiene mayor uso relativo respecto a su población.

Ninguna de las dos comparaciones es intrínsecamente correcta para todas las preguntas. Los números absolutos pueden importar para dimensionar transporte o personal. Las tasas pueden ayudar a comparar participación. La elección del denominador debe corresponder a la pregunta.

Tampoco hay que convertir una tasa por habitante en una descripción de cada individuo. Cinco préstamos por mil habitantes no significa que cinco personas distintas hayan utilizado el servicio: una misma persona puede realizar varios. Se necesita identificar la unidad contada.

Si se afirma que los retrasos bajaron del 20 % al 15 %, la diferencia es de cinco puntos porcentuales. La reducción relativa respecto al valor inicial es:

Decir «bajaron un 5 %» expresa otra cosa si se entiende como reducción relativa. Un descenso del 5 % sobre 20 % conduciría a 19 %, no a 15 %.

Las subidas y bajadas porcentuales no se cancelan cuando cambia la base. Una cantidad de 100 que aumenta un 20 % pasa a 120. Si después baja un 20 % de 120, termina en 96. La reducción necesaria para regresar de 120 a 100 es de aproximadamente el 16,7 %.

Error frecuente
Un porcentaje no es interpretable sin su base. «El doble», «un 30 % más» o «la mitad del riesgo» requieren saber respecto a qué cantidad, población y periodo se comparan.

4.4. Riesgos absolutos y relativos#

En un ejemplo construido de control de calidad, un embalaje nuevo reduce la proporción de paquetes dañados de 2 por cada 1 000 a 1 por cada 1 000. La reducción relativa es del 50 %. La reducción absoluta es de 1 por cada 1 000, equivalente a 0,1 puntos porcentuales.

Si el cambio fuera de 200 a 100 por cada 1 000, la reducción relativa también sería del 50 %, pero la absoluta sería cien veces mayor. El porcentaje relativo describe una relación; no determina cuántos casos cambian.

La evaluación práctica necesita las dos cantidades y el coste de la intervención. Un efecto relativo grande sobre una frecuencia inicial pequeña puede producir pocos cambios absolutos. Un efecto relativo modesto sobre una frecuencia grande puede producir muchos. Esto no decide qué opción es preferible: también importan la gravedad del resultado y los objetivos.

El denominador temporal es igualmente decisivo. Una probabilidad anual no puede compararse directamente con una probabilidad acumulada de diez años. Convertir una en otra exige un modelo sobre cómo se distribuyen y relacionan los sucesos a lo largo del tiempo. El capítulo 5 muestra por qué no siempre se pueden sumar riesgos.

4.5. Órdenes de magnitud#

Un orden de magnitud compara escalas mediante factores de diez. Mil es ${10}^3$; un millón, ${10}^6$; mil millones, ${10}^9$. Entre un millón y mil millones hay un factor de mil, no una diferencia pequeña entre palabras que suenan igualmente grandes.

Puede traducirse esa relación a duración. Un millón de segundos equivale a unos 11,6 días. Mil millones de segundos equivalen a unos 31,7 años si se usa un año de 365,25 días para la conversión. No son estimaciones observacionales: se obtienen dividiendo por los segundos de cada unidad de tiempo.

La notación científica escribe una cantidad como un coeficiente multiplicado por una potencia de diez. Así, $3\times {10}^6$ significa tres millones. Sirve para evitar cadenas de ceros y para reconocer de inmediato la escala. Multiplicar ${10}^3$ por ${10}^6$ produce ${10}^9$: los exponentes se suman.

Los prefijos del SI permiten expresar esas escalas de forma compacta. Kilo representa ${10}^3$, mega ${10}^6$, giga ${10}^9$, mili ${10}^{-3}$, micro ${10}^{-6}$ y nano ${10}^{-9}$. La distinción entre mayúsculas y minúsculas en los símbolos importa. BIPM, 2026.

Una escala logarítmica representa razones iguales mediante distancias iguales. Pasar de 1 a 10 ocupa el mismo espacio que pasar de 10 a 100. Es útil para comparar varios órdenes de magnitud, pero debe identificarse: una línea recta en ese eje no significa necesariamente crecimiento lineal en las cantidades originales.

4.6. Crecimiento lineal y exponencial#

Un archivo que incorpora cien documentos cada mes crece linealmente si mantiene esa incorporación constante. Un archivo que incorpora cada mes una cantidad equivalente al 10 % de lo que ya tiene sigue un modelo exponencial mientras se mantenga esa tasa proporcional.

El crecimiento lineal se expresa como:

$N_0$ es la cantidad inicial; $a$ es el incremento por unidad de tiempo; $t$ es el tiempo transcurrido. Añadir un mes añade siempre la misma cantidad $a$.

El crecimiento proporcional discreto se expresa como:

$r$ es la tasa por periodo expresada como fracción. Un 10 % corresponde a $r=0,10$. Cada periodo multiplica por 1,10 el total del periodo anterior, incluidos sus incrementos acumulados. El modelo supone que la tasa se mantiene y que el periodo está bien definido.

Ejemplo construido. La columna exponencial se redondea a documentos enteros; no representa un archivo real.

Ambos modelos empiezan con el mismo aumento, pero se separan porque el incremento proporcional se calcula sobre una base creciente. La diferencia no necesita una tasa espectacular: necesita repetición y tiempo.

El tiempo exacto de duplicación en el modelo discreto se obtiene resolviendo $(1+r{)}^t=2$:

El símbolo $\ln$ representa el logaritmo natural, la operación inversa de una forma de crecimiento exponencial. Para tasas pequeñas positivas, puede aproximarse el tiempo de duplicación dividiendo 70 por la tasa porcentual por periodo. Esa regla es una aproximación, no una ley universal ni una predicción de que la tasa continuará.

El mismo mecanismo puede describir disminuciones proporcionales. Si una cantidad se reduce a la mitad cada periodo, después de tres periodos queda un octavo. La disminución absoluta se hace menor, aunque la fracción eliminada permanezca constante.

Los procesos reales tienen restricciones. Un modelo exponencial puede describir una fase sin ser válido indefinidamente. Suponer crecimiento constante exige preguntar qué alimenta el aumento, qué lo frena y cuándo cambian las condiciones.

4.7. Funciones, variación y acumulación#

Una función asigna a cada valor admisible de entrada un valor de salida. Escribir $y=f(x)$ no dice que $x$ cause $y$; expresa una relación dentro de una representación. Un calendario puede asociar a cada día su número de reservas sin constituir una teoría de por qué se realizaron.

La pendiente indica cuánto cambia la salida respecto al cambio de entrada. Si una distancia aumenta 50 metros en diez segundos, la rapidez media es 5 metros por segundo. La rapidez instantánea exige mirar cambios durante intervalos cada vez más pequeños.

Esa idea conduce a la derivada:

$x$ es la posición y $t$ el tiempo; $v(t)$ expresa la tasa instantánea de cambio de la posición cuando la función es suficientemente regular. No significa que se haya dividido una distancia finita entre cero. Resume un límite de razones entre cambios pequeños.

La operación complementaria es la integración, que acumula contribuciones. Si entran diez personas por minuto durante seis minutos, entran sesenta. Si la tasa cambia, se suman contribuciones de intervalos breves; el límite de esa suma se representa mediante una integral.

Para un sistema con entradas y salidas:

$S$ es una existencia acumulada; $e$ y $s$ son tasas de entrada y salida; $u$ es una variable temporal de integración. La fórmula dice que la cantidad final es la inicial más las entradas acumuladas menos las salidas acumuladas. El significado puede comprenderse sin aprender a resolver integrales.

La relación explica por qué reducir una entrada no siempre reduce inmediatamente la cantidad acumulada. Si las entradas siguen superando a las salidas, la existencia continúa creciendo, aunque crezca más despacio. Esta distinción reaparece en inventarios, agua, emisiones y deuda; véase el capítulo 8.

4.8. La geometría de cambiar de tamaño#

Duplicar todas las longitudes de un cuadrado multiplica su área por cuatro. Duplicar las de un cubo multiplica su volumen por ocho. En general, bajo semejanza geométrica, las áreas cambian con el cuadrado del factor de longitud y los volúmenes con su cubo.

Un cubo de lado $L$ tiene volumen $L^3$ y superficie $6L^2$. Su razón superficie-volumen es $6/L$. Al aumentar $L$, disminuye la superficie disponible por unidad de volumen. Es una relación matemática, no una observación limitada a determinados cubos.

El resultado ayuda a formular preguntas sobre sistemas físicos: si una capacidad depende del volumen y un intercambio depende de la superficie, ambas no crecerán de la misma manera al escalar un objeto. Aplicarlo a edificios u organismos requiere añadir materiales, geometrías reales y mecanismos de intercambio. La semejanza de forma es un supuesto, no una característica inevitable de lo grande y lo pequeño.

También pueden cambiar distancias y conexiones de manera distinta. Un mapa plano de una superficie curva necesita deformar alguna propiedad. Una representación puede conservar ángulos localmente y distorsionar áreas, o conservar áreas y modificar formas. Leer un mapa exige conocer qué relación preserva, no solo reconocer sus colores.

4.9. Estimar antes de calcular con detalle#

Una estimación de orden de magnitud descompone un problema en factores comprensibles. Para estimar la capacidad de una sala pueden combinarse área utilizable y superficie necesaria por puesto. No se pretende producir un número definitivo, sino comprobar si la respuesta razonable está cerca de diez, cien o mil.

Supóngase, de manera ficticia, una sala de 300 metros cuadrados, de los cuales dos tercios se destinan a puestos y circulación inmediata. Si cada puesto requiere unos cuatro metros cuadrados de ese espacio, la capacidad aproximada sería de cincuenta. El resultado cambia si cambian la accesibilidad, la disposición o el uso. Los supuestos deben permanecer visibles.

Es preferible comunicar «del orden de cincuenta, según estos supuestos» que escribir «49,873» a partir de entradas aproximadas. El detalle aritmético no recupera la precisión que las premisas nunca tuvieron.

Pregunta de transferencia 4. Un servicio reduce sus incidencias del 4 % al 3 %, mientras el número de usuarios se duplica. ¿Cuánto baja la tasa en puntos porcentuales y en términos relativos? ¿Qué sucede con el número absoluto de incidencias si antes había 1 000 usuarios?

Términos esenciales: magnitud, unidad, dimensión, proporción, tasa, denominador, punto porcentual, orden de magnitud, crecimiento exponencial, función, derivada, integral, estimación.

Bibliografía de la parte I · Bibliografía general

Última revisión editorial

24 de septiembre de 2026

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24 de septiembre de 2026